复指数信号e^jwt的图像及性质

信号与系统、数字信号处理、信号分析，都离不开傅里叶变换，而傅里叶变换又离不开 e j w t e^{jwt} ejwt。 关于 e j w t e^{jwt} ejwt，好像很熟悉，很了解，但问你它是什么一个东西、有什么特点、相关的性质属性，你能马上说出来吗？

首先， e j w t e^{jwt} ejwt中j是虚数单位，w一般当做常量，t为变量。 关于虚数单位，应当回想起复数有关的知识，复数一般形如a+bj，可以在复平面用一根线表示，线的长度表示复数的模，与实轴（横轴）的夹角表示复数的相位。 既然 e j w t e^{jwt} ejwt有自变量t（正是因为有了时间变量， e j w t e^{jwt} ejwt也叫复指数信号），那应当可以画出它的图像。 谈到 e j w t e^{jwt} ejwt的图像，你脑海里浮现出什么？ 我脑海里竟想不出它的样子。 anyway，而今迈步从头越。

于是得到了 e j w t e^{jwt} ejwt的图像

（注意上图中的x坐标的方向，与一般我们稿纸画图的方向不同，看大家的图都不注明自变量的轴是哪个，难怪看晕了）

可以这样理解，画图本来就是先让自变量取一些值，然后在坐标系中描点，最后连线。 上图中的每一个点就是t取t0时， e j w t 0 e^{jwt0} ejwt0对应的值，由欧拉公式可知 e j w t 0 e^{jwt0} ejwt0=cos(wt0)+jsin(wt0),得到的函数值是复数，复数要表示出来得需要两个坐标轴，这也是为什么画出来是三维的。

然后对这幅图进行解析，也就是探究它的性质。 首先，将所有的点在yoz平面上投影，得到的会是一个圆形。这是因为 e j w t e^{jwt} ejwt=cos(wt)+jsin(wt)，实部和虚部的平方和为1，所以 e j w t e^{jwt} ejwt在复平面上表示就是一个单位圆。

（matlab画出来的三维图是可以拖曳从不同角度观察的，这是我拖到一个从x轴看过去的角度）

其次，关于w的物理意义和性质，上面那副图可以看着一个不断螺旋前进的轨迹图，w即反应了旋转的快慢。

最后，关于 e j w t e^{jwt} ejwt。还可以看做一个单位长度，逆时针旋转的复平面旋转向量。